Элементы треугольника. Биссектриса

Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, заключенный между вершиной треугольника и противолежащей ей стороной.

Свойства биссектрисы

1. Биссектриса треугольника делит угол пополам.

2. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон ()

3. Точки биссектрисы угла треугольника равноудалены от сторон этого угла.

4. Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке - центре вписанной в этот треугольник окружности.

Некоторые формулы, связанные с биссектрисой треугольника

(доказательство формулы – )
, где
- длина биссектрисы, проведённой к стороне ,
- стороны треугольника против вершин соответственно,
- длины отрезков, на которые биссектриса делит сторону ,

Приглашаю посмотреть видеоурок , в котором демонстрируется применение всех указанных выше свойств биссектрисы.

Задачи, рассматриваемые в видеоролике:
1.В треугольнике АВС со сторонами АВ=2 см, ВС=3 см, АС=3 см проведена биссектриса ВМ. Найти длины отрезков АМ и МС
2. Биссектриса внутреннего угла при вершине А и биссектриса внешнего угла при вершине С треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите угол BMC, если угол В равен 40, угол С – 80 градусов
3. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник, считая стороны квадратных клеток равными 1

Возможно, вам будет интересен и небольшой видеоурок, где применяется одно из свойств биссектрисы

На данном уроке мы вспомним понятие биссектрисы угла, сформулируем и докажем прямую и обратную теоремы о свойствах биссектрисы, обобщим их. Решим задачу, в которой, кроме фактов о биссектрисе, применим другие геометрические факты.

Тема: Окружность

Урок: Свойства биссектрисы угла. Задачи

Треугольник является центральной фигурой всей геометрии, и в шутку говорят, что он неисчерпаем, как атом. Его свойства многочисленны, интересны, занимательны. Мы рассматриваем некоторые из этих свойств.

Любой треугольник - это прежде всего три угла и три отрезка (см. Рис. 1).

Рис. 1

Рассмотрим угол с вершиной А и сторонами В и С - угол .

В любом угле, в том числе и в угле треугольника, можно провести биссектрису - то есть прямую, которая делит угол пополам (см. Рис. 2).

Рис. 2

Рассмотрим свойства точки, лежащей на биссектрисе угла (см. Рис. 3).

Рассмотрим точку М, лежащую на биссектрисе угла.

Напомним, что расстоянием от точки до прямой называют длину перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Рис. 3

Очевидно, что если мы возьмем точку, которая не лежит на биссектрисе, то расстояния от этой точки до сторон угла будут разные. Расстояние же от точки М до сторон угла одинаковое.

Теорема

Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от сторон угла, то есть расстояния от точки М до АС и до ВС сторон угла равны.

Задан угол , его биссектриса - AL, точка М лежит на биссектрисе (см. Рис. 4).

Доказать, что .

Рис. 4

Доказательство:

Рассмотрим треугольники и . Это прямоугольные треугольники, и они равны, т. к. имеют общую гипотенузу АМ, а углы и равны, так как AL - биссектриса угла . Таким образом, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому углу, отсюда следует, что , что и требовалось доказать. Таким образом, точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.

Справедлива обратная теорема.

Теорема

Если точка равноудалена от сторон неразвернутого угла, то она лежит на его биссектрисе.

Задан неразвернутый угол , точка М, такая, что расстояние от нее до сторон угла одинаковое.

Доказать, что точка М лежит на биссектрисе угла (см. Рис. 5).

Рис. 5

Доказательство:

Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра. Проведем из точки М перпендикуляры МК к стороне АВ и МР к стороне АС.

Рассмотрим треугольники и . Это прямоугольные треугольники, и они равны, т. к. имеют общую гипотенузу АМ, катеты МК и МР равны по условию. Таким образом, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов, против равных катетов лежат равные углы, таким образом, , следовательно, точка М лежит на биссектрисе данного угла.

Иногда прямую и обратную теоремы объединяют следующим образом:

Теорема

Точка равноудалена от сторон угла тогда и только тогда, когда она лежит на биссектрисе этого угла.

Равноудаленность точек биссектрисы от сторон угла широко используется в различных задачах.

Задача № 674 из учебника Атанасяна, геометрия, 7-9 класс:

Из точки М биссектрисы неразвернутого угла проведены перпендикуляры МА и МВ к сторонам этого угла (см. Рис. 6). Докажите, что .

Дано: угол , биссектриса ОМ, перпендикуляры МА и МВ к сторонам угла.

Рис. 6

Доказать, что :

Доказательство:

Согласно прямой теореме, точка М равноудалена от сторон угла, так как по условию она лежит на его биссектрисе. .

Рассмотрим прямоугольные треугольники и (см. Рис. 7). Они имеют общую гипотенузу ОМ, катеты МА и МВ равны, как мы доказали ранее. Таким образом, два прямоугольных

Рис. 7

треугольника равны по катету и гипотенузе. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов, отсюда равенство углов и равенство других катетов .

Из равенства катетов ОА и ОВ следует, что треугольник равнобедренный, причем АВ - его основание. Прямая ОМ является биссектрисой треугольника . Согласно свойству равнобедренного треугольника эта биссектриса одновременно является высотой, значит, прямые ОМ и АВ пересекаются под прямым углом, что и требовалось доказать.

Итак, мы рассмотрели прямую и обратную теоремы о свойстве точки, лежащей на биссектрисе угла, обобщили их и решили задачу, применив различные геометрические факты, включая данную теорему.

Список литературы

Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. - М.: Просвещение, 2006.
Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. - М.: Просвещение, 2011.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. - М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Bymath.net ().
Oldskola1.narod.ru ().

Домашнее задание

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия, 7-9, № 676-678, ст. 180.

Сегодня будет очень лёгкий урок. Мы рассмотрим всего один объект — биссектрису угла — и докажем важнейшее её свойство, которое очень пригодится нам в будущем.

Только не надо расслабляться: иногда ученики, желающие получить высокий балл на том же ОГЭ или ЕГЭ, на первом занятии даже не могут точно сформулировать определение биссектрисы.

И вместо того, чтобы заниматься действительно интересными задачами, мы тратим время на такие простые вещи. Поэтому читайте, смотрите — и берите на вооружение.:)

Для начала немного странный вопрос: что такое угол? Правильно: угол — это просто два луча, выходящих из одной точки. Например:

Примеры углов: острый, тупой и прямой

Как видно из картинки, углы могут быть острыми, тупыми, прямыми — это сейчас неважно. Часто для удобства на каждом луче отмечают дополнительную точку и говорят, мол, перед нами угол $AOB$ (записывается как $\angle AOB$).

Капитан очевидность как бы намекает, что помимо лучей $OA$ и $OB$ из точки $O$ всегда можно провести ещё кучу лучей. Но среди них будет один особенный — его-то и называют биссектрисой.

Определение. Биссектриса угла — это луч, который выходит из вершины этого угла и делит угол пополам.

Для приведённых выше углов биссектрисы будут выглядеть так:

Примеры биссектрис для острого, тупого и прямого угла

Поскольку на реальных чертежах далеко не всегда очевидно, что некий луч (в нашем случае это луч $OM$) разбивает исходный угол на два равных, в геометрии принято помечать равные углы одинаковым количеством дуг (у нас на чертеже это 1 дуга для острого угла, две — для тупого, три — для прямого).

Хорошо, с определением разобрались. Теперь нужно понять, какие свойства есть у биссектрисы.

Основное свойство биссектрисы угла

На самом деле у биссектрисы куча свойств. И мы обязательно рассмотрим их в следующем уроке. Но есть одна фишка, которую нужно понять прямо сейчас:

Теорема. Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудалённых от сторон данного угла.

В переводе с математического на русский это означает сразу два факта:

Всякая точка, лежащая на биссектрисе некого угла, находится на одинаковом расстоянии от сторон этого угла.
И наоборот: если точка лежит на одинаковом расстоянии от сторон данного угла, то она гарантированно лежит на биссектрисе этого угла.

Прежде чем доказывать эти утверждения, давайте уточним один момент: а что, собственно, называется расстоянием от точки до стороны угла? Здесь нам поможет старое-доброе определение расстояния от точки до прямой:

Определение. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, проведённого из данной точки к этой прямой.

Например, рассмотрим прямую $l$ и точку $A$, не лежащую на этой прямой. Проведём перпендикуляр $AH$, где $H\in l$. Тогда длина этого перпендикуляра и будет расстоянием от точки $A$ до прямой $l$.

Графическое представление расстояния от точки до прямой

Поскольку угол — это просто два луча, а каждый луч — это кусок прямой, легко определить расстояние от точки до сторон угла. Это просто два перпендикуляра:

Определяем расстояние от точки до сторон угла

Вот и всё! Теперь мы знаем, что такое расстояние и что такое биссектриса. Поэтому можно доказывать основное свойство.

Как и обещал, разобьём доказательство на две части:

1. Расстояния от точки на биссектрисе до сторон угла одинаковы

Рассмотрим произвольный угол с вершиной $O$ и биссектрисой $OM$:

Докажем, что эта самая точка $M$ находится на одинаковом расстоянии от сторон угла.

Доказательство. Проведём из точки $M$ перпендикуляры к сторонам угла. Назовём их $M{{H}_{1}}$ и $M{{H}_{2}}$:
Провели перпендикуляры к сторонам угла
Получили два прямоугольных треугольника: $\vartriangle OM{{H}_{1}}$ и $\vartriangle OM{{H}_{2}}$. У них общая гипотенуза $OM$ и равные углы:

$\angle MO{{H}_{1}}=\angle MO{{H}_{2}}$ по условию (поскольку $OM$ — биссектриса);

$\angle M{{H}_{1}}O=\angle M{{H}_{2}}O=90{}^\circ $ по построению;

$\angle OM{{H}_{1}}=\angle OM{{H}_{2}}=90{}^\circ -\angle MO{{H}_{1}}$, поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника всегда равна 90 градусов.

Следовательно, треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам (см. признаки равенства треугольников). Поэтому, в частности, $M{{H}_{2}}=M{{H}_{1}}$, т.е. расстояния от точки $O$ до сторон угла действительно равны. Что и требовалось доказать.:)

2. Если расстояния равны, то точка лежит на биссектрисе

Теперь обратная ситуация. Пусть дан угол $O$ и точка $M$, равноудалённая от сторон этого угла:

Докажем, что луч $OM$ — биссектриса, т.е. $\angle MO{{H}_{1}}=\angle MO{{H}_{2}}$.

Доказательство. Для начала проведём этот самый луч $OM$, иначе доказывать будет нечего:
Провели луч $OM$ внутри угла
Снова получили два прямоугольных треугольника: $\vartriangle OM{{H}_{1}}$ и $\vartriangle OM{{H}_{2}}$. Очевидно, что они равны, поскольку:

Гипотенуза $OM$ — общая;

Катеты $M{{H}_{1}}=M{{H}_{2}}$ по условию (ведь точка $M$ равноудалена от сторон угла);

Оставшиеся катеты тоже равны, т.к. по теореме Пифагора $OH_{1}^{2}=OH_{2}^{2}=O{{M}^{2}}-MH_{1}^{2}$.

Следовательно, треугольники $\vartriangle OM{{H}_{1}}$ и $\vartriangle OM{{H}_{2}}$ по трём сторонам. В частности, равны их углы: $\angle MO{{H}_{1}}=\angle MO{{H}_{2}}$. А это как раз и означает, что $OM$ — биссектриса.

В заключение доказательства отметим красными дугами образовавшиеся равные углы:
Биссектриса разбила угол $\angle {{H}_{1}}O{{H}_{2}}$ на два равных

Как видите, ничего сложного. Мы доказали, что биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудалённых до сторон этого угла.:)

Теперь, когда мы более-менее определились с терминологией, пора переходить на новый уровень. В следующем уроке мы разберём более сложные свойства биссектрисы и научимся применять их для решения настоящих задач.

На данном уроке мы подробно рассмотрим, какими свойствами обладают точки, лежащие на биссектрисе угла, и точки, которые лежат на серединном перпендикуляре к отрезку.

Тема: Окружность

Урок: Свойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку

Рассмотрим свойства точки, лежащей на биссектрисе угла (см. Рис. 1).

Рис. 1

Задан угол , его биссектриса AL, точка М лежит на биссектрисе.

Теорема:

Если точка М лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон угла, то есть расстояния от точки М до АС и до ВС сторон угла равны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники и . Это прямоугольные треугольники, и они равны, т.к. имеют общую гипотенузу АМ, а углы и равны, так как AL - биссектриса угла . Таким образом, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому углу, отсюда следует, что , что и требовалось доказать. Таким образом, точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.

Справедлива обратная теорема.

Если точка равноудалена от сторон неразвернутого угла, то она лежит на его биссектрисе.

Рис. 2

Задан неразвернутый угол , точка М, такая, что расстояние от нее до сторон угла одинаковое (см. Рис. 2).

Доказать, что точка М лежит на биссектрисе угла.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники и . Это прямоугольные треугольники, и они равны, т.к. имеют общую гипотенузу АМ, катеты МК и МР равны по условию. Таким образом, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов, против равных катетов лежат равные углы, таким образом, , следовательно, точка М лежит на биссектрисе данного угла.

Прямую и обратную теоремы можно объединить.

Теорема

Биссектриса неразвернутого угла есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон данного угла.

Теорема

Биссектрисы АА 1 , ВВ 1 , СС 1 треугольника пересекаются в одной точке О (см. Рис. 3).

Рис. 3

Доказательство:

Рассмотрим сначала две биссектрисы ВВ 1 и СС 1 . Они пересекаются, точка пересечения О существует. Чтобы доказать это, предположим противное - пусть данные биссектрисы не пересекаются, в таком случае они параллельны. Тогда прямая ВС является секущей, и сумма углов , это противоречит тому, что во всем треугольнике сумма углов .

Итак, точка О пересечения двух биссектрис существует. Рассмотрим ее свойства:

Точка О лежит на биссектрисе угла , значит, она равноудалена от его сторон ВА и ВС. Если ОК - перпендикуляр к ВС, OL - перпендикуляр к ВА, то длины этих перпендикуляров равны - . Также точка О лежит на биссектрисе угла и равноудалена от его сторон CВ и СА, перпендикуляры ОМ и ОК равны.

Получили следующие равенства:

, то есть все три перпендикуляра, опущенные из точки О на стороны треугольника, равны между собой.

Нас интересует равенство перпендикуляров OL и ОМ. Это равенство говорит о том, что точка О равноудалена от сторон угла , отсюда следует, что она лежит на его биссектрисе АА 1 .

Таким образом, мы доказали, что все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Перейдем к рассмотрению отрезка, его серединного перпендикуляра и свойства точки, которая лежит на серединном перпендикуляре.

Задан отрезок АВ, р - серединный перпендикуляр. Это значит, что прямая р проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна ему.

Теорема

Рис. 4

Любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, равноудалена от концов отрезка (см. Рис. 4).

Доказать, что

Доказательство:

Рассмотрим треугольники и . Они прямоугольные и равные, т.к. имеют общий катет ОМ, а катеты АО и ОВ равны по условию, таким образом, имеем два прямоугольных треугольника, равных по двум катетам. Отсюда следует, что гипотенузы треугольников тоже равны, то есть , что и требовалось доказать.

Заметим, что отрезок АВ является общей хордой для многих окружностей.

Например, первая окружность с центром в точке М и радиусом МА и МВ; вторая окружность с центром в точке N, радиусом NA и NB.

Таким образом, мы доказали, что если точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку, она равноудалена от концов отрезка (см. Рис. 5).

Рис. 5

Справедлива обратная теорема.

Теорема

Если некоторая точка М равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Задан отрезок АВ, серединный перпендикуляр к нему р, точка М, равноудаленная от концов отрезка (см. Рис. 6).

Доказать, что точка М лежит на серединном перпендикуляре к отрезку.

Рис. 6

Доказательство:

Рассмотрим треугольник . Он равнобедренный, так как по условию. Рассмотрим медиану треугольника: точка О - середина основания АВ, ОМ - медиана. Согласно свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к его основанию, является одновременно высотой и биссектрисой. Отсюда следует, что . Но прямая р также перпендикулярна АВ. Мы знаем, что в точку О можно провести единственный перпендикуляр к отрезку АВ, значит, прямые ОМ и р совпадают, отсюда следует, что точка М принадлежит прямой р, что и требовалось доказать.

Прямую и обратную теоремы можно обобщить.

Теорема

Серединный перпендикуляр к отрезку есть геометрическое место точек, равноудаленных от его концов.

Треугольник, как известно, состоит из трех отрезков, значит, в нем можно провести три серединных перпендикуляра. Оказывается, что они пересекаются в одной точке.

Серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке.

Задан треугольник . Перпендикуляры к его сторонам: Р 1 к стороне ВС, Р 2 к стороне АС, Р 3 к стороне АВ (см. Рис. 7).

Доказать, что перпендикуляры Р 1 , Р 2 и Р 3 пересекаются в точке О.

Знаешь ли ты, что такое середина отрезка? Конечно же знаешь. А центр круга? Тоже.

А что такое середина угла?

Ты можешь сказать, что такого не бывает. Но почему же, отрезок можно разделить пополам, а угол нельзя? Вполне можно - только не точкой, а…. линией.

Помнишь шутку: биссектриса это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам. Так вот, настоящее определение биссектрисы очень похоже на эту шутку:

Биссектриса треугольника - это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.

Когда-то древние астрономы и математики открыли очень много интересных свойств биссектрисы. Эти знания сильно упростили жизнь людей.

Первое знание, которое поможет в этом - это...

Кстати, а помнишь ли ты все эти термины? Помнишь чем они отличаются друг от друга? Нет? Не страшно. Сейчас разберемся.

Основание равнобедренного треугольника - это та сторона, которая не равна никакой другой. Посмотри на рисунок, как ты думаешь, какая это сторона? Правильно - это сторона.
Медиана - это линия, проведенная из вершины треугольника и делящая противоположную сторону (это снова) пополам. Заметь, мы не говорим: «Медиана равнобедренного треугольника». А знаешь почему? Потому что медиана, проведенная из вершины треугольника, делит противоположную сторону пополам в ЛЮБОМ треугольнике.
Высота - это линия, проведенная из вершины и перпендикулярная основанию. Ты заметил? Мы опять говорим о любом треугольнике, а не только о равнобедренном. Высота в ЛЮБОМ треугольнике всегда перпендикулярна основанию.

Итак, разобрались? Ну почти.

Чтобы еще лучше понять и навсегда запомнить что такое биссектриса, медиана и высота, их нужно сравнить друг с другом и понять в чем они похожи и чем они отличаются друг от друга.

При этом, чтобы лучше запомнить, лучше описать все «человеческим языком».

Потом ты легко будешь оперировать языком математики, но сначала ты этот язык не понимаешь и тебе нужно осмыслить все на своем языке.

Итак, в чем они похожи ?

Биссектриса, медиана и высота - все они «выходят» из вершины треугольника и упираются в противоположную сторону и «что-то делают» либо с углом из которого выходят, либо с противоположной стороной.

По-моему просто, нет?

А чем они отличаются ?

Биссектриса делит угол, из которого выходит, пополам.
Медиана делит противоположную сторону пополам.
Высота всегда перпендикулярна противоположной стороне.

Теперь все. Понять - легко. А раз понял, можешь запомнить.

Теперь следующий вопрос.

Почему же в случае с равнобедренным треугольником биссектриса оказывается одновременно и медианой и высотой?

Можно просто посмотреть на рисунок и убедиться, что медиана разбивает на два абсолютно равных треугольника.

Вот и все! Но математики не любят верить своим глазам. Им нужно все доказывать.

Страшное слово?

Ничего подобного - все просто! Смотри: у и равны стороны и, сторона у них вообще общая и. (- биссектриса!) И вот, получилось, что два треугольника имеют по две равные стороны и угол между ними.

Вспоминаем первый признак равенства треугольников (не помнишь, загляни в тему ) и заключаем, что, а значит = и.

Это уже хорошо - значит, оказалась медианой.

А вот что такое?

Посмотрим на картинку - . А у нас получилось, что. Значит, и тоже! Наконец, ура! и.

Показалось ли тебе это доказательство тяжеловатым? Посмотри на картинку - два одинаковых треугольника говорят сами за себя.

В любом случае твердо запомни:

Теперь сложнее: мы посчитаем угол между биссектрисами в любом треугольнике! Не бойся, все не так уж хитро. Смотри на рисунок:

Давай его посчитаем. Ты помнишь, что сумма углов треугольника равна ?

Применим этот потрясающий факт.

С одной стороны, из:

То есть.

Теперь посмотрим на:

Но биссектрисы, биссектрисы же!

Вспомним про:

Теперь через буквы

Не удивительно ли?

Получилось, что угол между биссектрисами двух углов зависит только от третьего угла !

Ну вот, две биссектрисы мы посмотрели. А что, если их три??!! Пересекутся ли они все в одной точке?

Или будет так?

Как ты думаешь? Вот математики думали-думали и доказали:

Правда, здорово?

Хочешь знать, почему же так получается?

Переходи на следующий уровень - ты готов к покорению новых вершин знаний о биссектрисе!

БИССЕКТРИСА. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Помнишь, что такое биссектриса?

Биссектриса - это линия, которая делит угол пополам.

Тебе встретилась в задаче биссектриса? Постарайся применить одно (а иногда можешь и несколько) из следующих потрясающих свойств.

1. Биссектриса в равнобедренном треугольнике.

Не боишься слова «теорема»? Если боишься, то - зря. Теоремой математики привыкли называть всякое утверждение, которое можно как-то вывести из других, более простых утверждений.

Так вот, внимание, теорема!

Докажем эту теорему, то есть поймём, почему же так получается? Посмотри на равнобедренный.

Давай посмотрим на них внимательно. И тогда увидим, что

- общая.

А это значит (скорее вспоминай первый признак равенства треугольников!), что.

Ну и что? Хочется тебе так сказать? А то, что мы ещё не смотрели на третьи стороны и оставшиеся углы этих треугольников.

А вот теперь посмотрим. Раз, то совершенно точно и даже вдобавок, .

Вот и получилось, что

разделила сторону пополам, то есть оказалась медианой
, а значит, они оба по, так как (глянь ещё раз на рисунок).

Вот и оказалась биссектриса и высотой тоже!

Ура! Доказали теорему. Но представляешь, это ещё не всё. Верна ещё и обратная теорема:

Доказательство? Неужели тебе интересно? Читай следующий уровень теории!

А если неинтересно, то твердо запомни:

Зачем же это твердо запоминать? Как это может помочь? А вот представь, что у тебя задача:

Дано: .

Найти: .

Ты тут же соображаешь, биссектриса и, о чудо, она разделила сторону пополам! (по условию…). Если ты твердо помнишь, что так бывает только в равнобедренном треугольнике, то делаешь вывод, что и значит, пишешь ответ: . Здорово, правда? Конечно, не во всех задачах будет так легко, но знание обязательно поможет!

А теперь следующее свойство. Готов?

2. Биссектриса угла - геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла.

Испугался? На самом деле ничего страшного. Ленивые математики в двух строчках спрятали четыре. Итак, что же значит, «Биссектриса - геометрическое место точек »? А это значит, что выполняются сразу два утверждения:

Если точка лежит на биссектрисе, то расстояния от неё до сторон угла равны.
Если у какой-нибудь точки расстояния до сторон угла равны, то эта точка обязательно лежит на биссектрисе.

Видишь разницу между утверждениями 1 и 2? Если не очень, то вспомни Шляпника из «Алисы в стране чудес»: "Так ты еще чего доброго скажешь, будто "Я вижу то, что ем" и "Я ем то, что вижу", - одно и то же!"

Итак, нам нужно доказать утверждения 1 и 2, и тогда утверждение: "биссектриса - это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла" будет доказано!

Почему же верно 1?

Возьмём любую точку на биссектрисе и назовём её .

Опустим из этой точки перпендикуляры и на стороны угла.

А теперь …приготовились вспоминать признаки равенства прямоугольных треугольников! Если ты их подзабыл, то загляни в раздел .

Итак…два прямоугольных треугольника: и. У них:

Общая гипотенуза.
(потому что - биссектриса!)

Значит, - по углу и гипотенузе. Поэтому и соответствующие катеты у этих треугольников - равны! То есть.

Доказали, что точка одинаково (или равно) удалена от сторон угла. С пунктом 1 разобрались. Теперь перейдём к пункту 2.

Почему же верно 2?

И соединим точки и.

Значит, то есть лежит на биссектрисе!

Вот и всё!

Как же все это применить при решении задач? Вот например, в задачах часто бывает такая фраза: «Окружность касается сторон угла….». Ну, и найти нужно что-то.

То быстро соображаешь, что

И можно пользоваться равенством.

3. Три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке

Из свойства биссектрисы быть геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла, вытекает следующее утверждение:

Как именно вытекает? А вот смотри: две-то биссектрисы точно пересекутся, правда?

А третья биссектриса могла бы пройти так:

Но на самом деле-то всё гораздо лучше!

Давай рассмотрим точку пересечения двух биссектрис. Назовём её .

Что мы тут оба раза применяли? Да пункт 1 , конечно же! Если точка лежит на биссектрисе, то она одинаково удалена от сторон угла.

Вот и получилось и.

Но посмотри внимательно на эти два равенства! Ведь из них следует, что и, значит, .

А вот теперь в дело пойдёт пункт 2 : если расстояния до сторон угла равны, то точка лежит на биссектрисе…какого же угла? Ещё раз смотри на картинку:

и - расстояния до сторон угла, и они равны, значит, точка лежит на биссектрисе угла. Третья биссектриса прошла через ту же точку! Все три биссектрисы пересеклись в одной точке! И, как дополнительный подарок -

Радиусы вписанной окружности.

(Для верности посмотри ещё тему ).

Ну вот, теперь ты никогда не забудешь:

Точка пересечения биссектрис треугольника - центр вписанной в неё окружности.

Переходим к следующему свойству… Ух и много же свойств у биссектрисы, правда? И это здорово, потому что, чем больше свойств, тем больше инструментов для решения задач про биссектрису.

4. Биссектриса и параллельность, биссектрисы смежных углов

Тот факт, что биссектриса делит угол пополам, в каких-то случаях приводит к совершенно неожиданным результатам. Вот, например,

Случай 1

Здорово, правда? Давай поймём, почему так.

С одной стороны, - мы же проводим биссектрису!

Но, с другой стороны, - как накрест лежащие углы (вспоминаем тему ).

И теперь выходит, что; выкидываем середину: ! - равнобедренный!

Случай 2

Представь треугольник (или посмотри на картинку)

Давай продолжим сторону за точку. Теперь получилось два угла:

- внутренний угол
- внешний угол - он же снаружи, верно?

Так вот, а теперь кому-то захотелось провести не одну, а сразу две биссектрисы: и для, и для. Что же получится?

А получится прямоугольный!

Удивительно, но это именно так.

Разбираемся.

Как ты думаешь, чему равна сумма?

Конечно же, - ведь они все вместе составляют такой угол, что получается прямая.

А теперь вспомним, что и -биссектрисы и увидим, что внутри угла находится ровно половина от суммы всех четырех углов: и - - то есть ровно. Можно написать и уравнением:

Итак, невероятно, но факт:

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего угла треугольника равен.

Случай 3

Видишь, что здесь все так же, как и для внутреннего и внешнего углов?

Или ещё раз подумаем, почему так получается?

Снова, как и для смежных углов,

(как соответственные при параллельных основаниях).

И опять, составляют ровно половину от суммы

Вывод: Если в задаче встретились биссектрисы смежных углов или биссектрисы соответственных углов параллелограмма или трапеции, то в этой задаче непременно участвует прямоугольный треугольник, а может даже и целый прямоугольник.

5. Биссектриса и противоположная сторона

Оказывается, биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону не как-нибудь, а специальным и очень интересным образом:

То есть:

Удивительный факт, не правда ли?

Сейчас мы этот факт докажем, но приготовься: будет немного сложнее, чем раньше.

Снова - выход в «космос» - дополнительное построение!

Проведём прямую.

Зачем? Сейчас увидим.

Продолжим биссектрису до пересечения с прямой.

Знакомая картинка? Да-да-да, точно так же, как в пункте 4, случай 1 - получается, что (- биссектриса)

Как накрест лежащие

Значит, - это тоже.

А теперь посмотрим на треугольники и.

Что про них можно сказать?

Они…подобны. Ну да, у них и углы равны как вертикальные. Значит, по двум углам.

Теперь имеем право писать отношения соответствующих сторон.

А теперь в коротких обозначениях:

Ой! Что-то напоминает, верно? Не это ли самое мы хотели доказать? Да-да, именно это!

Видишь, как здорово проявил себя «выход в космос» - построение дополнительной прямой - без неё ничего бы не вышло! А так, мы доказали, что

Теперь можешь смело использовать! Разберём ещё одно свойство биссектрис углов треугольника - не пугайся, теперь самое сложное кончилось - будет проще.

Получаем, что

Теорема 1:

Теорема 2:

Теорема 3:

Теорема 4:

Теорема 5:

Теорема 6:

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время .

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье -
Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 899 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!